3 GERBANG LOGIKA DASAR & ALJABAR BOOLEAN

GERBANG LOGIKA DASAR & ALJABAR BOOLEAN

1. Tabel Kebenaran (Truth Table)

Tabel kebenaran merupakan tabel yang menunjukkan pengaruh pemberian level logika pada input suatu rangkaian logika terhadap keadaan level logika outputnya. Melalui tabel kebenaran dapat diketahui watak atau karakteristik suatu rangkaian logika. Oleh karena itu, tabel kebenaran mencerminkan watak atau karakteristik suatu rangkaian logika. Tabel kebenaran harus memuat seluruh kemungkinan keadaan input tergantung pada jumlah variabel input atau jumlah saluran input dari suatu rangkaian logika, dan mengikuti rumus :

Jumlah seluruh kemungkinan input = 2ⁿ, dengan n merupakan jumlah variabel atau saluran input rangkaian .

Contoh :

1. Rangkaian logika dengan 1 variabel input, maka jumlah seluruh kemungkinan input = 2¹ = 2

Tabel kebenaran:

Input (A)	Output (F)
0	…..
1	…..

2. Rangkaian logika dengan 2 variabel input, maka jumlah seluruh kemungkinan input = 2² = 4

Tabel kebenaran:

Input		Output
A	B	F
0	0	…..
0	1	…..
1	0	…..
1	1	…..

3. Rangkaian logika dengan 3 variabel input, maka jumlah seluruh kemungkinan input = 2³ = 8

Tabel kebenaran:

Input			Output
A	B	C	F
0	0	0	…..
0	0	1	…..
0	1	0	…..
0	1	1	…..
1	0	0	…..
1	0	1	…..
1	1	0	…..
1	1	1	…..

2. Gerbang Logika Dasar

Gerbang-gerbang dasar logika merupakan elemen rangkaian digital dan rangkaian digital merupakan kesatuan dari gerbang-gerbang logika dasar yang membentuk fungsi pemrosesan sinyal digital. Gerbang dasar logika terdiri dari 3 gerbang utama, yaitu AND Gate, OR Gate, dan NOT Gate. Gerbang lainnya seperti NAND Gate, NOR Gate, EX-OR Gate dan EX-NOR Gate merupakan kombinasi dari 3 gerbang logika utama tersebut.

1. AND Gate

Gerbang AND merupakan salah satu gerbang logika dasar yang memiliki 2 buah saluran masukan (input) atau lebih dan sebuah saluran keluaran (output). Suatu gerbang AND akan menghasilkan sebuah keluaran biner tergantung dari kondisi masukan dan fungsinya. Prinsip kerja dari gerbang AND adalah kondisi keluaran (output) akan berlogic 1 bila semua saluran masukan (input) berlogic 1. Selain itu output akan berlogic 0. Simbol gerbang logika AND 2 input :

dengan persamaan Boolean fungsi AND adalah F = A.B (dibaca F = A AND B).

Tabel kebenaran:

input		Output
A	B	F
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

2. OR Gate

Gerbang OR merupakan salah satu gerbang logika dasar yang memiliki 2 buah saluran masukan (input) atau lebih dan sebuah saluran keluaran (output). Berapapun jumlah saluran masukan yang dimiliki oleh sebuah gerbang OR, maka tetap memiliki prinsip kerja yang sama dimana kondisi keluarannya akan berlogic 1 bila salah satu atau semua saluran masukannya berlogic 1. Selain itu output berlogic 0.

Simbol gerbang logika OR 2 input :

dengan persamaan Boolean fungsi OR adalah F = A+B (dibaca F = A OR B).

Tabel kebenaran:

input		Output
A	B	F
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

3. NOT Gate

Gerbang NOT sering disebut dengan gerbang inverter. Gerbang ini merupakan gerbang logika yang paling mudah diingat. Gerbang NOT memiliki 1 buah saluran masukan (input) dan 1 buah saluran keluaran (output). Gerbang NOT akan selalu menghasilkan nilai logika yang berlawanan dengan kondisi logika pada saluran masukannya. Bila pada saluran masukannya berlogic 1 maka pada saluran keluarannya akan berlogic 0 dan sebaliknya. Simbol gerbang logika NOT :

Tabel kebenaran:

Input (A)	Output (F)
0	1
1	0

4. NAND Gate

Gerbang NAND merupakan kombinasi dari gerbang AND dengan gerbang NOT dimana keluaran gerbang AND dihubungkan ke saluran masukan dari gerbang NOT. Karena keluaran dari gerbang AND di”NOT”kan maka prinsip kerja dari gerbang NAND merupakan kebalikan dari gerbang AND. Outputnya merupakan komplemen atau kebalikan dari gerbang AND, yakni memberikan keadaan level logic 0 pada outputnya jika dan hanya jika keadaan semua inputnya berlogika 1. Simbol gerbang logika NAND 2 input :

4. NOR Gate

Sama halnya dengan NAND Gate, gerbang NOR merupakan kombinasi dari gerbang OR dengan gerbang NOT dimana keluaran gerbang OR dihubungkan ke saluran masukan dari gerbang NOT. Karena keluaran dari gerbang OR di”NOT”kan maka prinsip kerja dari gerbang NOR merupakan kebalikan dari gerbang OR. Outputnya merupakan komplemen atau kebalikan dari gerbang OR, yakni memberikan keadaan level logic 0 pada outputnya jika salah satu atau lebih inputnya berlogika 1. Simbol gerbang logika NOR 2 input :

5. EX-OR Gate

EX-OR singkatan dari Exclusive OR dimana jika input berlogic sama maka output akan berlogic 0 dan sebaliknya jika input berlogic beda maka output akan berlogic 1. Simbol gerbang logika EX-OR 2 input :

6. EX-NOR

EX-NOR gate adalah kebalikan dari EX-OR gate dimana jika input berlogic sama maka output akan berlogic 1 dan sebaliknya jika input berlogic beda maka output akan berlogic 0. Simbol gerbang logika EX-NOR 2 input :

BAB II

RANGKAIAN LOGIKA KOMBINASI

1. Pengertian Logika Kombinasi

Logika kombinasi merupakan salah satu jenis rangkaian logika yang keadaan outputnya hanya tergantung pada kombinasi-kombinasi inputnya saja.

2. Bentuk-bentuk Persamaan Logika

Selain menggunakan symbol elemen logika, deskripsi rangkaian logika kombinasi dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan logika. Secara umum persamaan logika diklasifikasikan ke dalam 2 bentuk, yakni Sum Of Product (SOP) dan Product Of Sum (POS). Dari masing-masing bentuk persamaan tersebut dapat diklasifikasikan lagi menjadi bentuk standar dan tidak standar.

1. Bentuk Sum Of Product (SOP)

SOP merupakan persamaan logika yang mengekspresikan operasi OR dari suku-suku berbentuk operasi AND. Secara sederhana dapat dikatakan bahwa SOP adalah bentuk persamaan yang melakukan operasi OR terhadap AND. Bentuk SOP ini terdiri dari 2 macam, yaitu SOP standar dan SOP tidak standar. SOP standar adalah persamaan logika SOP yang setiap sukunya mengandung semua variabel input yang ada, sedangkan SOP standar merupakan persamaan logika SOP yang tidak setiap sukunya mengandung semua variabel input. Pada bentuk SOP standar, setiap sukunya dinamakan minterm, disingkat dengan m(huruf kecil). Minterm bersifat unik, yakni untuk semua kombinasi input yang ada hanya terdapat satu kombinasi saja yang menyebabkan suatu minterm bernilai 1. Dengan kata lain, suatu persamaan logika dalam bentuk SOP, dapat dilihat dari outputnya yang berlogic 1. Tanda sigma () digunakan sebagai pengganti operator-operator penjumlahan (operasi logika OR).

2. Bentuk Product Of Sum (POS)

POS merupakan suatu persamaan logika yang mengekspresikan operasi AND dari suku-suku berbentuk operasi OR atau dengan kata lain POS adalah bentuk persamaan yang meakukan operasi AND terhadap OR. Bentuk POS ini terdiri dari 2 macam, yaitu POS standar dan POS tidak standar. POS standar adalah persamaan logika POS yang setiap sukunya mengandung semua variabel input yang ada, sedangkan POS standar merupakan persamaan logika POS yang tidak setiap sukunya mengandung semua variabel input. Pada bentuk POS standar, setiap sukunya dinamakan maxterm, disingkat dengan M (huruf besar). Sama halnya dengan minterm, maxterm juga bersifat unik, yakni untuk semua kombinasi input yang ada hanya terdapat satu kombinasi saja yang menyebabkan suatu maxterm bernilai 0. Dengan kata lain, suatu persamaan logika dalam bentuk POS, dapat dilihat dari outputnya yang berlogic 0. Tanda phi () digunakan sebagai pengganti operator-operator perkalian (operasi logika AND).

3. Penyederhanaan Secara Aljabar

Bentuk suatu persamaan logika baik dalam bentuk SOP maupun POS yang diperoleh dari tabel kebenaran umumnya jika diimplementasikan ternyata merupakan bentuk impelementasi yang tidak efisien. Oleh karena itu, setiap persamaan logika yang akan diimplementasikan ke dalam bentuk rangkaian logika pada dasarnya dapat dilakukan jika persamaan logika tersebut sudah dalam bentuk minimum, yaitu dengan tahap minimisasi. Tahap minimisasi merupakan suatu cara untuk memanipulasi atau menyederhanakan suatu persamaan logika dengan menggunakan teorema aljabar Boolean, diagram venn, karnaugh map, dam sebagainya. Dengan menyederhanakan suatu persamaan logika sebelum persamaan tersebut diimplementasikan ke dalam bentuk rangkaian, terdapat beberapa keuntungan yang dapat diperoleh, yaitu :

• Mengurangi jumlah komponen yang diperlukan.
• Mengurangi biaya yang diperlukan.
• Waktu yang diperlukan untuk menyusun rangkaian lebih sedikit.
• Respon/tanggapan rangkaian menjadi lebih cepat karena delay/tundaan rangkaian berkurang.
• Ukuran/dimensi fisik rangkaian lebih kecil.
• Bobot rangkaian lebih ringan.
• Rangkaian akan lebih mudah dianalisa.

4. Metode Karnaugh Map

Selain menggunakan teorema aljabar Boolean, agar suatu persamaan logika dengan cepat dapat diketahui sudah dalam bentuk minimum atau masih perlu diminimumkan dapat digunakan metode Karnaugh Map. Keuntungan yang diperoleh dari penyederhanaan persamaan logika dengan menggunakan K-map ditinjau dari persamaan akhir yang dihasilkan selalu merupakan persamaan yang tersederhana. Pembahasan lebih lanjut tentang karnaugh map akan dijelaskan pada bab minimasi.

BAB III

TEKNIK MINIMISASI DAN IMPLEMENTASI

A. Teknik Minimasi

Teknik minimisasi dalam ilmu digital adalah suatu teknik yang digunakan untuk menyederhanakan suatu persamaan logika. Mengapa suatu persamaan logika perlu disederhanakan?

Suatu persamaan logika perlu disederhanakan agar jika persamaan logika itu kita buat menjadi sebuah rangkaian logika kita bisa ;

• Mengurangi jumlah komponen yang digunakan
• Mengurangi jumlah biaya yang diperlukan
• Mempersingkat waktu untuk merangkai
• Menghasilkan respon rangkaian lebih cepat karena delay rangkaian berkurang
• Memperkecil dimensi fisik rangkaian
• Menganalisa rangkaian dengan mudah

Berikut adalah contoh rangkaian yang belum diminimisasi dan rangkaian yang sudah diminimisasi.

Sebelum diminimisasi sesudah diminimisasi

Bagaimanakah cara menyederhanakan persamaan logika?

Berikut beberapa metoda untuk menyederhanakan persamaan suatu logika diantaranya ;

• Aljabar Boolean
• Diagram Venn
• Karnaugh Map
• Quinne -Mc.Cluskey

1. Teorema Aljabar Boolean

Aljabar Boolean sangat penting peranannya di dalam proses perancangan maupun analisis rangkaian logika. Untuk memperoleh hasil rancangan yang berupa suatu persamaan logika yang siap diimplementasikan, diperlukan tahap pemberlakuan kaidah-kaidah perancangan. Salah satunya adalah aljabar Boolean. Aljabar Boolean merupakan aljabar yang diberlakukan pada variabel yang bersifat diskrit, dan oleh karena itu, aljabar ini cocok diberlakukan pada variabel yang ada pada rangkaian logika. Terdapat 2 jenis teorema aljabar Boolean yakni teorema variabel tunggal dan teorema variabel jamak. Setiap teorema baik yang bersifat tunggal maupun jamak selalu memiliki teorema rangkapnya.

1. Sifat Idempoten (sama)
   • 
   • 
2. Sifat Absorpsi (menghilanghkan)
   • 
   • 
3. Teorema Identitas
   • 
   • 

(Jika )

4. Teorema Komplemen
   • Jika , atau
   • Jika ,

Maka

5. Teorema Involution
   • 
6. Teorema Van De Morgan
   • 
   • 

2. Postulate Huntington
   1. Postulate 1
      • 
      • 
   2. Postulate 2
      • 
      • 

3. Postulate 3

• 
• 

3. Postulate 4

• 
• 

3. Postulate 5

• 
• 

3. Diagram Venn

Salah satu cara untuk memudahkan untuk melukiskan hubungan antara variable dalam aljabar boolean adalah dengan menggunakan diagram venn. Diagram ini terdiri dari sebuah segi empat yang didalamnya dilukis lingkaran-lingkaran yang mewakili variabelnya, satu lingkaran untuk setiap variabelnya. Masing-masing lingkaran itu diberi nama menurut variable yang diwakilinya. Ditentukan bahwa semua titik diluar lingkaran itu tidak dimiliki oleh variable tersebut. Misalnya lingkaran dengan nama A, jika dalam lingkaran itu dikatakan bernilai 1, maka diluar a dikatakan bernilai 0. untuk dua lingkaran yang bertumpang tindih, terdapat empat daerah dalam segiempat tersebut.

Diagram venn dapat digunakan untuk melukiskan postulate aljabar boole atau untuk membuktikan berlakunya aljabar Boolean. Gambar berikut menunjukan bahwa daerah yang dimiliki oleh AB terletak dalam lingkaran A sehingga A+AB = A.

Gambar berikut ,menunjukan hukum distributive A(B+C) = AB+AC

Dalam lingkaran itu tampak tiga lingkaran yang bertumpang tindih, satu untuk masing-masing variable A, B dan C. dengan demikian dimungkinkan untuk membedakan delapan daerah yang terpisah dalam diagram venn dengan variable itu. Dalam hal ini hokum distributiv dibuktikan dengan menunjukan bahwa daerah yang memotong lingkaran A dengan daerah yang meliputi B atau C adalah daerah yang sama yang dimiliki oleh AB atau A.

4. Karnaugh Map

Aturan penyederhanaan persamaan logika dengan K-map ;

1. Untuk persamaan logika yang terdiri dari n variable diperlukan K-map dengan 2ⁿ kotak. Penomoran kotak berurutan berdasarkan kode gray.

2. Memasukan data dari truth table ke dalam K-map

3. Penyederhanaan dilakukan dengan menggabungkan kotak-kotak yang bersebelahan dengan anggota sebanyak 2^m kotak dan formasi kotak membentuk segi empat ( 0 ≤ m ≤ n ).
4. Setiap kelompok dalam K-map akan membentuk satu suku dalam persamaan hasil penyederhanaan, dan jumlah variabel yang terkandung dalam suatu suku tergantung kepada jumlah kotak/daerah dalam suatu kelompok
5. Dalam K-map dengan n variabel, suatu kelompok yang memiliki 2^m kotak merupakan suatu suku dengan (n-m) variabel.
6. Jumlah kelompok (group) dalam suatu K-map harus dibuat seminimal mungkin.
7. Jumlah anggota (kotak) dalam suatu kelompok harus dibuat semaksimal mungkin

8. Proses pengelompokan dilakukan sampai seluruh kotak yang berlogik 1 tergabung dalam pengelompokan.

Don’t care adalah Kombinasi input yang tidak pernah digunakan, tidak dipakai dalam sistem.

Contoh:

Don’t care pada K-map 3 variabel (8 kombinasi warna input tetapi hanya 5 warna yang digunakan)

d = don’t care

Don’t care boleh dibuat logik 1 atau logik 0 tergantung pada posisi yang menguntungkan

Pada M-map diatas nilai d lebih menguntungkan jika berlogik 1

5. Metoda Quine - Mc. Cluskey

Untuk menyederhanakan suatu persamaan logika empat variable, K-map memang metode yang paling efektif. Akan tetapi jika persamaan itu lebih dari empat variable metode ini akan mengalami kesulitan. Metode Quine Mc. Cluskey adalh salah satu cara yang memungkinkan untuk menyederhanakan suatu persamaan logika lebih dari empat variable.

Berikut langkah-langkahnya ;